epsilon-delta definition of limit
先來回顧一下極限的定義：
lim_(x→a) f(x) = L
當上面的等號成立時的定義是：
for any ε>0，there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ
或許中文這麼解釋會讓人較好理解這些冰冷生硬的符號定義。任意給我一個允許誤差 ε (for any ε>0)，我都可以找到一個測量標準 δ (there is δ>0)，讓 f(x) 與 L 這個數的差被控制在允許誤差內 (such that |f(x)-L|<ε)，只要我們恆在 0<|x-a|<δ 這個由測量標準所構成的區間上去看它們 (whenever 0<|x-a|<δ)。
------------------------以上為定義------------------------
而當我們要證明，例如 Show that lim_(x→2) x^2 = 4 時，其意思就是對於任意的一個誤差 ε>0，我必須要去尋找到這個依賴於 ε 的測量標準 δ。或許剛開始接觸這種證明會沒有什麼想法，但是不管再怎樣懵懂也不要忘了最基本的東西，這可以讓你寫出一點東西不至於什麼也沒做，它就是定義。
根據定義 |x^2 - 4|<ε 是我們想要的結果，但是δ要怎麼找？
|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < δ|x+2| ≦ ε
嗯，希望可以有上面那樣，但是 |x+2| 有點麻煩，如果 |x+2| 是常數就很好，為了讓證明可以繼續走下去，不妨先假設 |x+2|<1 看看，這樣的話把 |x+2|<1 逆推回去得到 -5 |x^2 - 4| = |x-2||x+2| < 5|x-2| < 5δ ≦ ε
回頭看看極限的定義，再觀察上面這個我們在紙上塗鴉想要找 δ 的想法過程，豈不只差臨門一腳，重跑一次剛剛的想法若 |x^2 - 4| <ε 要成立，則 δ 勢必要同時滿足 δ=1 與 δ=ε/5，自然而然的取 δ = min {ε/5,1} 的想法就出來了。
