2010年10月31日 星期日

ε- δ極限定義

ε- δ極限定義
epsilon-delta definition of limit



先來回顧一下極限的定義:

lim_(x→a) f(x) = L

當上面的等號成立時的定義是:

for any ε>0,there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ

或許中文這麼解釋會讓人較好理解這些冰冷生硬的符號定義。任意給我一個允許誤差 ε (for any ε>0),我都可以找到一個測量標準 δ (there is δ>0),讓 f(x) 與 L 這個數的差被控制在允許誤差內 (such that |f(x)-L|<ε),只要我們恆在 0<|x-a|<δ 這個由測量標準所構成的區間上去看它們 (whenever 0<|x-a|<δ)。

------------------------以上為定義------------------------

而當我們要證明,例如 Show that lim_(x→2) x^2 = 4 時,其意思就是對於任意的一個誤差 ε>0,我必須要去尋找到這個依賴於 ε 的測量標準 δ。或許剛開始接觸這種證明會沒有什麼想法,但是不管再怎樣懵懂也不要忘了最基本的東西,這可以讓你寫出一點東西不至於什麼也沒做,它就是定義。


根據定義 |x^2 - 4|<ε 是我們想要的結果,但是δ要怎麼找?


|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < δ|x+2| ≦ ε


嗯,希望可以有上面那樣,但是 |x+2| 有點麻煩,如果 |x+2| 是常數就很好,為了讓證明可以繼續走下去,不妨先假設 |x+2|<1 看看,這樣的話把 |x+2|<1 逆推回去得到 -5 |x^2 - 4| = |x-2||x+2| < 5|x-2| < 5δ ≦ ε


回頭看看極限的定義,再觀察上面這個我們在紙上塗鴉想要找 δ 的想法過程,豈不只差臨門一腳,重跑一次剛剛的想法若 |x^2 - 4| <ε 要成立,則 δ 勢必要同時滿足 δ=1 與 δ=ε/5,自然而然的取 δ = min {ε/5,1} 的想法就出來了。



擷取自:
如何學習微積分?




4 則留言:

  1. 這樣的話把 |x+2|<1 逆推回去得到 -5 |x^2 - 4| = |x-2||x+2| < 5|x-2| < 5δ ≦ ε

    這段我看不太懂耶~~
    所謂逆推是什麼意思??
    然後-5 |x^2 - 4| = |x-2||x+2|怎麼會等於??

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    1. 我忽略的下面舉例的那段,
      我也沒有看懂,
      如果有更進一步的訊息會在更新^^

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    1. 這是我兩年多前的微積分補充筆記……

      其實下面的舉例我也看不懂
      不過我覺得弄懂
      |f(x)-L|<ε

      0<|x-a|<δ
      的意義比較重要!

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